京都大学 2000年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

複素数 $α$ は $∣ α ∣ = 1$ を満たしている．このとき， $∣ α^{m} + α^{- m} ∣ > 1$ となる自然数 $m$ が存在することを示せ．

出典：京都大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

$α = cos θ + i sin θ$ とおき、 $∣ α^{m} + α^{- m} ∣ = 2∣ cos m θ ∣$ に帰着する。 $m = 1, 2, 3$ のいずれかで必ず $1$ を超えることを示す。

$α = cos θ + i sin θ$ とおく。このとき

α^{m} + α^{- m} = 2 cos m θ

であるから、示すべきことは

∣ cos m θ ∣ > \frac{1}{2}

となる自然数 $m$ の存在である。

まず $∣ cos θ ∣ > 1/2$ なら $m = 1$ でよい。以下

∣ cos θ ∣ ≦ \frac{1}{2}

とする。余弦の絶対値は周期 $π$ をもつので、 $θ$ を $π$ の整数倍だけ変えて

\frac{π}{3} ≦ θ ≦ \frac{2 π}{3}

としてよい。この範囲では

- 1 ≦ cos 2 θ ≦ - \frac{1}{2}

である。従って、 $θ \neq = π /3, 2 π /3$ なら

∣ cos 2 θ ∣ > \frac{1}{2}

なので $m = 2$ でよい。

残る $θ = π /3, 2 π /3$ の場合は

∣ cos 3 θ ∣ = 1 > \frac{1}{2}

であるから $m = 3$ でよい。

以上により、常に $m = 1, 2, 3$ のいずれかが条件を満たし、

∣ α^{m} + α^{- m} ∣ > 1

となる自然数 $m$ が存在する。