京都大学 2000年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の点で $x$ 座標， $y$ 座標がともに整数である点を格子点という．

(1) 格子点を頂点とする三角形の面積は $\frac{1}{2}$ 以上であることを示せ．

(2) 格子点を頂点とする凸四角形の面積が1であるとき，この四角形は平行四辺形であることを示せ．

出典：京都大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

(1) 座標による三角形の面積公式を用い、面積の2倍が0でない整数になることを示す。(2) 面積 $1/2$ の格子三角形が作る二つの整数ベクトルを格子の基底として、第四頂点の係数を決定する。

三角形の頂点を

A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})

とする。その面積を $T$ とすると

2 T = ∣ (x_{2} - x_{1}) (y_{3} - y_{1}) - (x_{3} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) ∣ .

右辺は整数であり、三角形は退化していないので0ではない。従って $2 T ≧ 1$ 、すなわち

T ≧ \frac{1}{2}

である。

凸四角形の頂点を反時計回りに $A, B, C, D$ とする。対角線 $A C$ は四角形を二つの格子三角形 $A B C, A C D$ に分ける。(1)より各面積は $1/2$ 以上であり、和が1だから、どちらも面積 $1/2$ である。

u = A B, v = A C

とおき、向きを選んで $det (u, v) = 1$ とする。この行列式が1であるため、任意の格子ベクトルは $u, v$ の整数係数で一意に表せる。従って

A D = r u + s v (r, s は整数)

と書ける。

三角形 $A C D$ の面積が $1/2$ で、 $D$ は辺 $A C$ に関して $B$ と反対側にあるから

det (v, A D) = 1.

左辺は $- r$ なので $r = - 1$ である。また対角線 $B D$ で分けても二つの三角形の面積はともに $1/2$ だから、三角形 $A B D$ について

det (u, A D) = 1.

左辺は $s$ なので $s = 1$ である。よって

A D = - u + v = B C .

従って $A D ∥ B C$ かつ $A D = B C$ であり、この四角形は平行四辺形である。