京都大学 2000年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

実数 $x$ ， $y$ が $x ≧ y ≧ 1$ を満たすとき，次の不等式が成立することを示せ．

(x + y - 1) lo g_{2} (x + y) ≧ (x - 1) lo g_{2} x + (y - 1) lo g_{2} y + y

出典：京都大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

両辺に $lo g 2$ を掛けた差を $F (x, y)$ とおく。固定した $y$ に対して $F$ が $x$ の増加関数であることを示し、条件 $x ≧ y$ から $x = y$ に帰着する。

自然対数を $lo g$ と書き、与えられた不等式の左辺から右辺を引いて $lo g 2$ を掛けた量を

F (x, y) = (x + y - 1) lo g (x + y) - (x - 1) lo g x - (y - 1) lo g y - y lo g 2

とおく。

$y ≧ 1$ を固定して $x$ で微分すると

\frac{\partial F}{\partial x} = lo g (x + y) + 1 - \frac{1}{x + y} - (lo g x + 1 - \frac{1}{x}) = lo g (1 + \frac{y}{x}) + \frac{1}{x} - \frac{1}{x + y} > 0.

従って $F (x, y)$ は $x$ について増加する。条件 $x ≧ y$ より

F (x, y) ≧ F (y, y) .

ここで

F (y, y) = (2 y - 1) lo g (2 y) - 2 (y - 1) lo g y - y lo g 2 = (y - 1) lo g 2 + lo g y ≧ 0

である。最後の不等式は $y ≧ 1$ による。

従って $F (x, y) ≧ 0$ であり、 $lo g 2 > 0$ だから、もとの不等式

(x + y - 1) lo g_{2} (x + y) ≧ (x - 1) lo g_{2} x + (y - 1) lo g_{2} y + y

が成立する。