問題
，はを媒介変数として，次のように表示されているものとする．
変数がを動くとき，との動く範囲をそれぞれ求めよ．さらに，このが描くグラフが囲む図形と領域の共通部分の面積を求めよ．
出典：京都大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
まず , と整理する。 と の範囲はそれぞれ微分して増減表を作ればよい。曲線は と で原点に戻る閉じたループを作り、 かつ なので は に対応する。共通部分の面積は、曲線の の部分と直線 で囲まれる面積であり、パラメータ表示の面積公式 を使う。ここでは から 被積分関数 が に簡単化する。
解答
与えられた式は と書ける。以下、 で考える。
まず の範囲を求める。微分すると
である。 では , なので、 は で増加し、 で減少する。端点と極大値は である。したがって である。
次に の範囲を求める。 だから
である。したがって は で増加し、 で減少する。また であり、最大値は である。これを整理すると である。よって である。
次に面積を求める。 では であり、 である。したがって は と同値である。 の部分では であり、端点を含めても、求める共通部分は曲線の の部分と直線 で囲まれる部分である。
パラメータ表示された閉曲線の面積は で求められる。ここでは なので であり、 となる。よって求める面積 は
である。すなわち である。
被積分関数を割り算で整理すると
である。したがって である。上端では であり、下端では である。よって である。したがって求める面積は である。