京都大学 1999年度理系数学第2問解答・解説

問題

平面上に2定点 $A$ ， $B$ をとる． $c$ は正の定数として，平面上の点 $P$ が $∣ P A ∣∣ P B ∣ + P A \cdot P B = c$ を満たすとき，点 $P$ の軌跡を求めよ．

出典：京都大学 1999年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

$P A = r_{1}$ , $P B = r_{2}$ , $A B = d$ とおき、内積 $P A \cdot P B$ を余弦定理で距離だけの式に直す。すると与式は $(r_{1} + r_{2})^{2} = d^{2} + 2 c$ となり、 $P A + P B$ が一定であることが分かる。 $c > 0$ なのでこの一定値は $A B$ より大きく、 $A \neq = B$ なら2点 $A, B$ を焦点とする楕円になる。 $A = B$ の可能性も考えるなら、同じ式から円として記述できる。

解答

$P A = r_{1}, P B = r_{2}, A B = d$ とおく。三角形 $A P B$ に余弦定理を用いると $d^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 P A \cdot P B$ である。したがって $P A \cdot P B = \frac{r _{1}^{2} + r _{2}^{2} - d ^{2}}{2}$ となる。

これを条件

∣ P A ∣∣ P B ∣ + P A \cdot P B = c

に代入すると $r_{1} r_{2} + \frac{r _{1}^{2} + r _{2}^{2} - d ^{2}}{2} = c$ である。両辺を2倍して整理すると $r_{1}^{2} + 2 r_{1} r_{2} + r_{2}^{2} = d^{2} + 2 c$ すなわち $(r_{1} + r_{2})^{2} = d^{2} + 2 c$ である。 $r_{1} + r_{2} ≧ 0$ だから $P A + P B = r_{1} + r_{2} = d^{2} + 2 c$ である。

ここで $c > 0$ より $d^{2} + 2 c > d = A B$ である。したがって、 $A \neq = B$ のとき、点 $P$ の軌跡は2点 $A, B$ を焦点とし、距離の和が $A B^{2} + 2 c$ に等しい楕円である。すなわち $P A + P B = A B^{2} + 2 c を満たす楕円$ である。

なお、もし $A = B$ の場合には $P A = P B$ であり、条件は $P A^{2} + P A^{2} = c$ となるので、軌跡は点 $A$ を中心とする半径 $c /2$ の円である。これは焦点が一致した場合の特別な形と見られる。

京都大学 1999年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

京都大学 1999年度
理系数学第2問