京都大学 1999年度理系数学第3問解答・解説

問題

(1) $a_{0} < b_{0}$ ， $a_{1} < b_{1}$ を満たす正の実数 $a_{0}$ ， $b_{0}$ ， $a_{1}$ ， $b_{1}$ について，次の不等式が成り立つことを示せ．

\frac{b _{1} ^{2}}{a _{0} ^{2} + 1} + \frac{a _{1} ^{2}}{b _{0} ^{2} + 1} > \frac{a _{1} ^{2}}{a _{0} ^{2} + 1} + \frac{b _{1} ^{2}}{b _{0} ^{2} + 1}

(2) $n$ 個の自然数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ は互いに相異なり， $1 ≦ x_{k} ≦ n$ $(1 ≦ k ≦ n)$ を満たしているとする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

k = 1 \sum n \frac{x _{k} ^{2}}{k ^{2} + 1} > n - \frac{8}{5}

出典：京都大学 1999年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1)は左辺から右辺を引き、 $(b_{1}^{2} - a_{1}^{2}) {1/ (a_{0}^{2} + 1) - 1/ (b_{0}^{2} + 1)}$ という正の積にする。(2)では $x_{1}, \dots, x_{n}$ が $1, 2, \dots, n$ の並べ替えであることを使う。(1)は「小さい添字に大きい値がある反転」を入れ替えると和が小さくなることを示しているので、最小は $x_{k} = k$ のときである。最後は $\sum 1/ (k^{2} + 1)$ を $k ≧ 3$ で $1/ (k (k - 1))$ より小さく評価し、望む下限を得る。

解答

(1)

示すべき不等式の左辺から右辺を引く。すると

\frac{b _{1}^{2}}{a _{0}^{2} + 1} + \frac{a _{1}^{2}}{b _{0}^{2} + 1} - \frac{a _{1}^{2}}{a _{0}^{2} + 1} - \frac{b _{1}^{2}}{b _{0}^{2} + 1}

$= \frac{b _{1}^{2} - a _{1}^{2}}{a _{0}^{2} + 1} - \frac{b _{1}^{2} - a _{1}^{2}}{b _{0}^{2} + 1}$ $= (b_{1}^{2} - a_{1}^{2}) (\frac{1}{a _{0}^{2} + 1} - \frac{1}{b _{0}^{2} + 1})$ である。 $a_{1} < b_{1}$ かつ正の実数だから $b_{1}^{2} - a_{1}^{2} > 0$ である。また $a_{0} < b_{0}$ かつ正の実数だから $a_{0}^{2} + 1 < b_{0}^{2} + 1$ であり、したがって $\frac{1}{a _{0}^{2} + 1} - \frac{1}{b _{0}^{2} + 1} > 0$ である。よって差は正であり、求める不等式が成り立つ。

(2)

$x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ は互いに相異なり、しかもすべて $1$ 以上 $n$ 以下の自然数である。したがって、これらは $1, 2, \dots, n$ の並べ替えである。

和 $S = \sum_{k = 1}^{n} \frac{x _{k}^{2}}{k ^{2} + 1}$ を考える。もし $i < j$ なのに $x_{i} > x_{j}$ となっている箇所があれば、 $a_{0} = i$ , $b_{0} = j$ , $a_{1} = x_{j}$ , $b_{1} = x_{i}$ として(1)を適用できる。すると

\frac{x _{i}^{2}}{i ^{2} + 1} + \frac{x _{j}^{2}}{j ^{2} + 1} > \frac{x _{j}^{2}}{i ^{2} + 1} + \frac{x _{i}^{2}}{j ^{2} + 1}

である。つまり、反転している2つを入れ替えると、和 $S$ は小さくなる。

この操作を反転がなくなるまで繰り返すと、最終的には $x_{k} = k (1 ≦ k ≦ n)$ となる。したがって任意の並べ替えに対して $S ≧ \sum_{k = 1}^{n} \frac{k ^{2}}{k ^{2} + 1}$ である。右辺は

k = 1 \sum n \frac{k ^{2}}{k ^{2} + 1} = k = 1 \sum n (1 - \frac{1}{k ^{2} + 1}) = n - k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2} + 1}

である。

あとは $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ^{2} + 1} < \frac{8}{5}$ を示せばよい。 $k = 1, 2$ の項は $\frac{1}{1 ^{2} + 1} + \frac{1}{2 ^{2} + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5}$ である。 $k ≧ 3$ では $k^{2} + 1 > k (k - 1)$ だから $\frac{1}{k ^{2} + 1} < \frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ である。よって $n ≧ 3$ のとき

k = 3 \sum n \frac{1}{k ^{2} + 1} < k = 3 \sum n (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{n} < \frac{1}{2}

である。 $n = 1, 2$ の場合はこの尾部がないので、以下の評価はさらに明らかに成り立つ。

したがってすべての $n$ について $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ^{2} + 1} < \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{6}{5} < \frac{8}{5}$ である。以上より $S ≧ n - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ^{2} + 1} > n - \frac{8}{5}$ となる。すなわち $k = 1 \sum n \frac{x _{k}^{2}}{k ^{2} + 1} > n - \frac{8}{5}$ である。

京都大学 1999年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1999年度
理系数学第3問