問題
複素平面上で，の頂点を表す複素数を，，とする．，，が次の3条件を満たすとする．
1. は辺の長さの正三角形である
2.
3. は絶対値1で，虚数部分は正
このとき，次の問に答えよ．
(1) とおいて，とをを使って表せ．
(2) ，，の偏角を求めよ．ただしとする．
方針
正三角形の重心は3頂点の平均であり、条件 から中心は複素数 である。 とおくと、辺の長さが であることから となり、他の頂点は を中心に を , 回転した点で表せる。積は と簡単になり、絶対値1かつ虚部正という条件から の偏角を に決める。最後に3通りの を調べ、指定された偏角順序に合うものを選ぶ。
解答
(1)
とおく。これは偏角 の複素数であり、, を満たす。
条件 より、三角形の重心は である。正三角形では重心と中心が一致するので、3頂点は複素数 を中心とする円周上にある。 とおく。正三角形の中心から各頂点までの距離を とすると、辺の長さは である。これが に等しいので である。したがって、残りの2頂点は を中心のまわりに , 回転した点であり、順序を除いて である。後の偏角順序に合わせて、必要なら と を入れ替える。
(2)
(1)の表し方で積を計算する。, より である。 なので、 も単位円上にある。 とおくと である。これの絶対値が1であるから である。単位円上の点 について
だから すなわち である。さらに の虚数部分は正なので である。よって であり、 である。
したがって の偏角は のいずれかである。それぞれについて、 の偏角を調べる。 の偏角が のとき、3頂点は である。ここで を用いると、偏角はそれぞれ である。これは指定された順序 に合う。
一方、 の偏角が または のときは、 の偏角がそれぞれ , となり、3つの偏角を の順に非減少に並べることができない。したがって条件に合うのは の偏角が の場合だけである。
よって
である。