京都大学 1999年度
理系数学 第5問

解答

(1)

有理数 $p,q,r$ が $p+q\sqrt{2}+r\sqrt{3}=0$ を満たすとする。

まず $p\ne 0$ かつ $q\ne 0$ と仮定する。このとき $p+q\sqrt{2}=-r\sqrt{3}$ と書ける。両辺を2乗すると $p^2+2q^2+2pq\sqrt{2}=3r^2$ である。したがって $2pq\sqrt{2}=3r^2-p^2-2q^2$ となる。右辺は有理数であり、$2pq\ne 0$ だから $\sqrt{2}$ が有理数になってしまう。これは仮定に反する。よって $p=0\text{または}q=0$ である。 $p=0$ の場合、$q\sqrt{2}+r\sqrt{3}=0$ である。もし $r\ne 0$ かつ $q\ne 0$ なら、両辺に $\sqrt{2}$ をかけて $2q+r\sqrt{6}=0$ となり、$\sqrt{6}$ が有理数になってしまう。これは矛盾である。したがって $q=0$ または $r=0$ であり、どちらの場合も元の式から残りの係数も0になる。よって $q=r=0$ である。 $q=0$ の場合、$p+r\sqrt{3}=0$ である。もし $r\ne 0$ なら $\sqrt{3}=-p/r$ が有理数になり矛盾する。したがって $r=0$、さらに $p=0$ である。

以上より、必ず $p=q=r=0$ である。

(2)

背理法で示す。3つの値 $f(1),f(1+\sqrt{2}),f(\sqrt{3})$ がすべて有理数であると仮定する。

まず $f(x)=x^2+ax+b$ だから $f(1)=1+a+b$ である。また $f(1+\sqrt{2})=(1+\sqrt{2}{)}^2+a(1+\sqrt{2})+b$ であり、差を取ると $f(1+\sqrt{2})-f(1)=2+(a+2)\sqrt{2}$ である。左辺は有理数なので、ある有理数 $u$ を用いて $(a+2)\sqrt{2}=u$ と書ける。したがって $a+2=\frac{u}{\sqrt{2}}=\frac{u\sqrt{2}}{2}$ である。$q=u/2$ とおけば $q$ は有理数であり、$a=-2+q\sqrt{2}$ と書ける。

次に $f(\sqrt{3})-f(1)=2+a(\sqrt{3}-1)$ である。これも有理数なので、ある有理数 $s$ を用いて $a(\sqrt{3}-1)=s$ と書ける。よって $a=\frac{s}{\sqrt{3}-1}=\frac{s(\sqrt{3}+1)}{2}$ である。

2つの $a$ の表示を等置すると $-2+q\sqrt{2}=\frac{s(\sqrt{3}+1)}{2}$ である。両辺を2倍して整理すると $(-4-s)+2q\sqrt{2}-s\sqrt{3}=0$ である。ここで $-4-s$, $2q$, $-s$ はすべて有理数であるから、(1)より $-4-s=0,2q=0,-s=0$ でなければならない。しかし $-4-s=0$ と $-s=0$ は同時に成り立たない。これは矛盾である。

したがって、3つの値がすべて有理数であることは不可能であり、$f(1),f(1+\sqrt{2}),f(\sqrt{3})\text{ のいずれかは無理数である}$ が示された。