京都大学 1998年度後期・文系数学後期第5問解答・解説

問題

$a, b, p, q$ はすべて自然数で，

\frac{p ^{2} + q ^{2}}{a} = \frac{pq}{b}

を満たしている． $a$ と $b$ の最大公約数が1のとき以下の問に答えよ．

(1) $pq$ は $b$ で割り切れることを示せ．

(2) $a + 2 b$ は自然数であることを示せ．

出典：京都大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第5問

方針

(1) 分母を払い、 $g cd (a, b) = 1$ を用いる。(2) $p, q$ の最大公約数をくくって互いに素な2数にし、比 $a : b$ を既約な比として同定する。

解答

(1)

分母を払うと

b (p^{2} + q^{2}) = a pq

である。従って $b ∣ a pq$ であり、 $g cd (a, b) = 1$ だからユークリッドの補題により

b ∣ pq

である。

(2)

$d = g cd (p, q)$ とし

p = d r, q = d s, g cd (r, s) = 1

とおく。元の等式から

b (r^{2} + s^{2}) = a r s .

ここで $g cd (r s, r^{2} + s^{2}) = 1$ である。実際、素数 $ℓ$ が両者を割るなら、 $ℓ ∣ r$ または $ℓ ∣ s$ である。例えば $ℓ ∣ r$ なら $ℓ ∣ r^{2} + s^{2}$ より $ℓ ∣ s^{2}$ 、従って $ℓ ∣ s$ となり、 $g cd (r, s) = 1$ に反する。

従って

\frac{a}{b} = \frac{r ^{2} + s ^{2}}{r s}

は右辺も既約分数である。左辺も $g cd (a, b) = 1$ により既約だから

a = r^{2} + s^{2}, b = r s .

よって

a + 2 b = r^{2} + 2 r s + s^{2} = (r + s)^{2} .

$r + s$ は自然数なので

a + 2 b = r + s

も自然数である。

京都大学 1998年度後期・文系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1998年度
後期・文系数学後期第5問