京都大学 1998年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

$α$ を0でない複素数とする． $β^{2} = α$ となるような複素数 $β$ がちょうど2個存在することを示せ．

出典：京都大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

$α$ を極形式で表して平方根を2つ構成する。その後、任意の平方根と構成した1つとの差・和の積を用いて、それ以外に解がないことを示す。

$α \neq = 0$ であるから、ある実数 $θ$ を用いて

α = r (cos θ + i sin θ) (r = ∣ α ∣ > 0)

と書ける。そこで

β_{0} = r (cos \frac{θ}{2} + i sin \frac{θ}{2})

とおくと、ド・モアブルの定理より

β_{0}^{2} = r (cos θ + i sin θ) = α

である。また $(- β_{0})^{2} = α$ でもある。 $β_{0} \neq = 0$ なので、 $β_{0}$ と $- β_{0}$ は相異なる。

逆に、複素数 $γ$ が $γ^{2} = α$ を満たすとする。このとき

γ^{2} - β_{0}^{2} = (γ - β_{0}) (γ + β_{0}) = 0

である。複素数の積が0ならば少なくとも一方が0だから、 $γ = β_{0}$ または $γ = - β_{0}$ である。

従って、条件を満たす複素数は $β_{0}, - β_{0}$ のちょうど2個である。