京都大学 1998年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

関数 $f_{n} (x)$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ は， $f_{1} (x) = 4 x^{2} + 1$ ，

f_{n} (x) = 3 x^{2} \int_{0}^{1} t f_{n - 1}^{'} (t) d t + 3 \int_{0}^{1} f_{n - 1} (t) d t (n = 2, 3, \dots)

で帰納的に定義されている．この $f_{n} (x)$ を求めよ．

出典：京都大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

各 $f_{n}$ が二次式 $A_{n} x^{2} + B_{n}$ になることを帰納的に確認し、係数の漸化式を解く。

$f_{n - 1} (x) = A_{n - 1} x^{2} + B_{n - 1}$ と書けるとする。このとき

\int_{0}^{1} t f_{n - 1}^{'} (t) d t = \int_{0}^{1} 2 A_{n - 1} t^{2} d t = \frac{2 A _{n - 1}}{3}

であり、

\int_{0}^{1} f_{n - 1} (t) d t = \frac{A _{n - 1}}{3} + B_{n - 1} .

従って

f_{n} (x) = 2 A_{n - 1} x^{2} + A_{n - 1} + 3 B_{n - 1} .

$f_{1} (x) = 4 x^{2} + 1$ もこの形なので、帰納的にすべての $f_{n}$ は二次式であり、

A_{n} = 2 A_{n - 1}, B_{n} = A_{n - 1} + 3 B_{n - 1}, A_{1} = 4, B_{1} = 1

を満たす。

第1式から $A_{n} = 2^{n + 1}$ である。従って

B_{n} = 2^{n} + 3 B_{n - 1} .

ここで $C_{n} = B_{n} + 2^{n + 1}$ とおくと

C_{n} = 3 B_{n - 1} + 2^{n} + 2^{n + 1} = 3 (B_{n - 1} + 2^{n}) = 3 C_{n - 1} .

$C_{1} = 1 + 4 = 5$ だから $C_{n} = 5 \cdot 3^{n - 1}$ であり、

B_{n} = 5 \cdot 3^{n - 1} - 2^{n + 1} .

従って

f_{n} (x) = 2^{n + 1} x^{2} + 5 \cdot 3^{n - 1} - 2^{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots) .