京都大学 1998年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

$0^{\circ} ≦ θ < 36 0^{\circ}$ のとき，次の問に答えよ．

(1) 不等式 $2 sin 3 θ - 2 cos 2 θ - 1 > 0$ を満たす $θ$ の範囲を求めよ．

(2) 定数 $a$ がいろいろな値を取るとき，方程式 $2 sin 3 θ - 2 cos 2 θ - 1 = a$ の解の個数がどのように変わるかを調べよ．

出典：京都大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

$s = sin θ$ とおいて三次関数 $F (s)$ に直す。(1) は因数分解して符号を調べる。(2) は $- 1 ≦ s ≦ 1$ 上の増減と端点値・極値を求め、1つの $s$ が通常2つの $θ$ に対応する点を数える。

$s = sin θ$ とおくと

2 sin 3 θ - 2 cos 2 θ - 1 = 2 (3 s - 4 s^{3}) - 2 (1 - 2 s^{2}) - 1 = - 8 s^{3} + 4 s^{2} + 6 s - 3 = (2 s - 1) (3 - 4 s^{2}) .

従ってこれが正となるのは

- 1 ≦ s < - \frac{3}{2} または \frac{1}{2} < s < \frac{3}{2}

のときである。 $0^{\circ} ≦ θ < 36 0^{\circ}$ に戻すと

3 0^{\circ} < θ < 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ} < θ < 15 0^{\circ}, 24 0^{\circ} < θ < 30 0^{\circ} .

F (s) = - 8 s^{3} + 4 s^{2} + 6 s - 3 (- 1 ≦ s ≦ 1)

とおく。

F^{'} (s) = - 24 s^{2} + 8 s + 6

の零点は

u = \frac{1 - 10}{6}, v = \frac{1 + 10}{6}

である。 $F$ は $[- 1, u]$ で減少、 $[u, v]$ で増加、 $[v, 1]$ で減少する。また

F (- 1) = 3, F (1) = - 1,

F (u) = L = - \frac{4 ( 13 + 5 10 )}{27}, F (v) = U = \frac{4 ( 5 10 - 13 )}{27} .

ここで $L < - 1 < U < 3$ である。

$s \in (- 1, 1)$ の1つの解には $sin θ = s$ を満たす $θ$ が2個対応し、 $s = \pm 1$ には1個だけ対応する。各単調区間と水平線 $y = a$ の交点を数えると、方程式の解の個数は

a の範囲 a < L または a > 3 a = L L < a < - 1 a = - 1 - 1 < a < U a = U U < a < 3 a = 3 θ の解の個数 02456421

となる。