京都大学 1998年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に放物線 $y = x^{2}$ と点 $B (0, b)$ を考える．ただし $b > 0$ とする．

(1) 点 $X (t, t^{2})$ がこの放物線上を動くとき，線分 $B X$ の長さの最小値を求めよ．

(2) (1)で求めた最小値が1となるように $b$ をとる．このとき点 $B (0, b)$ を中心とする半径1の円と放物線 $y = x^{2}$ とは相異なる2点 $P, Q$ でそれぞれ共通の接線を持つことを示し，角 $P B Q$ の大きさを求めよ．さらに角 $P B Q$ に対応する円弧 $P Q$ と放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．

出典：京都大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

(1) 距離の二乗を $u = t^{2} ≧ 0$ の二次式として最小化する。(2) 最小値1から $b$ を決め、等号を与える2点を求める。半径と放物線の接線が直交することを確認し、中心角と円弧・放物線間の積分を計算する。

解答

(1)

距離の二乗は

B X^{2} = t^{2} + (t^{2} - b)^{2}

である。 $u = t^{2} ≧ 0$ とおくと

B X^{2} = u + (u - b)^{2} = (u - b + \frac{1}{2})^{2} + b - \frac{1}{4} .

従って $0 < b ≦ \frac{1}{2}$ では頂点 $u = b - \frac{1}{2}$ が範囲外なので $u = 0$ で最小となり、最小値は $b$ である。 $b ≧ \frac{1}{2}$ では $u = b - \frac{1}{2}$ で最小となり、最小値は $b - \frac{1}{4}$ である。よって

min B X = ⎩ ⎨ ⎧ b b - \frac{1}{4} (0 < b ≦ \frac{1}{2}), (b ≧ \frac{1}{2}) .

(2)

最小値が1となるのは第2の場合で

b - \frac{1}{4} = 1, b = \frac{5}{4}

のときである。等号条件 $t^{2} = b - \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ より

P (\frac{3}{2}, \frac{3}{4}), Q (- \frac{3}{2}, \frac{3}{4})

を得る。放物線の点 $(t, t^{2})$ における接線の傾きは $2 t$ である。一方、半径 $B (t, t^{2})$ の傾きは

\frac{t ^{2} - \frac{5}{4}}{t} = \frac{- \frac{1}{2}}{t} = - \frac{1}{2 t}

であるから、両者の傾きの積は $- 1$ である。従って $P, Q$ で円と放物線は共通の接線を持つ。

また

B P = (\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}), B Q = (- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2})

で、両ベクトルの長さは1、内積は $- \frac{1}{2}$ である。従って

cos ∠ P B Q = - \frac{1}{2}, ∠ P B Q = 12 0^{\circ} .

対応する小さい方の円弧は円

x^{2} + (y - \frac{5}{4})^{2} = 1

の下側であり、

y = \frac{5}{4} - 1 - x^{2}

と表される。 $- \frac{3}{2} ≦ x ≦ \frac{3}{2}$ でこの円弧は放物線の上にある。求める面積 $S$ は

S = \int_{- 3 /2}^{3 /2} (\frac{5}{4} - 1 - x^{2} - x^{2}) d x .

ここで

\int_{- 3 /2}^{3 /2} 1 - x^{2} d x = \frac{3}{4} + \frac{π}{3}, \int_{- 3 /2}^{3 /2} x^{2} d x = \frac{3}{4}

だから

S = \frac{5 3}{4} - (\frac{3}{4} + \frac{π}{3}) - \frac{3}{4} = \frac{3 3}{4} - \frac{π}{3} .

京都大学 1998年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1998年度
後期・文系数学後期第2問