問題
ガソリンをkg積んだ状態で時速kmで走るとき，毎時kgのガソリンを消費する車がある．ここでは正の定数である．この車を用いて100km離れた地点へ一定速度で行くとき，ガソリンの消費量を最小にするには，最初に積むガソリンの量と走行速度をどのようにすればよいか．ただし，ガソリンが無くなれば車は直ちに停止するものとする．
出典：京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
速度 を固定し，時刻 に積んでいるガソリン量を として消費の式を立てる。100kmを走る時間は であり，消費量を最小にするには到着時にちょうどガソリンが0になる初期量を選べばよい。そこで を分離して積分し，必要最小の初期量を の関数で表す。残る問題は の最小化で，微分により を得る。
解答
一定速度を km/h とし，時刻 に積んでいるガソリン量を kg とする。このとき毎時の消費量は kg だから，走行中は である。
100kmを速度 で走る時間は 時間である。固定した のもとで初めに積む量を多くすると，その分だけ車が重くなり消費量も増える。したがって最小にするには，到着時にちょうどガソリンが0になるように積めばよい。
初めに積む量を kg とする。到着時に となる条件を積分すると
である。左辺は であり，右辺は である。よって となり である。
したがって，初期量を最小にするには を最小にすればよい。これを とおくと である。 だから， の符号は の符号で決まる。よって は で減少し， で増加する。したがって最小となる速度は である。
このとき であるから，最初に積むべきガソリンの量は である。
以上より，ガソリンの消費量を最小にするには，速度を とし，最初に のガソリンを積めばよい。