京都大学 1996年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の正三角形 $△ A B C$ を考える． $△ A B C$ の重心は原点 $O$ にあり，ベクトル $O A$ の長さは1とする． $△ A B C$ の内部または辺上の点 $P_{0}$ に対し，3頂点 $A$ ， $B$ ， $C$ から1点を等確率 $\frac{1}{3}$ で選び，この頂点と $P_{0}$ の中点を $P_{1}$ とする．次に点 $P_{1}$ に対して同様の操作を行い得られた点を $P_{2}$ とし，以下この操作を繰り返して，点 $P_{3}, P_{4}, \dots, P_{n}$ を作る．ベクトル $O P_{n}$ の長さの2乗 $∣ O P_{n} ∣^{2}$ の期待値を $E_{n}$ とおく．

(1) $E_{1}$ をベクトル $O P_{0}$ の長さを用いて表せ．

(2) 選んだ頂点が $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ のとき，ベクトル $O P_{n}$ をベクトル $O P_{0}$ と $O X_{i}$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ，を用いて表せ．

(3) $P_{0}$ が原点 $O$ のとき $E_{n}$ を求めよ．

出典：京都大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

選ばれた頂点のベクトルを $X_{n}$ と書くと，操作は $O P_{n} = (O P_{n - 1} + O X_{n}) /2$ で表せる。正三角形の重心が原点なので，頂点ベクトルの平均は0であり，どの頂点ベクトルも長さ1である。(1)は展開して交差項の期待値が消えることを見る。(2)は漸化式を繰り返して係数を求める。(3)は $P_{0} = O$ のとき，異なる回の頂点選択が独立で平均0であるため交差項の期待値が消え，係数の2乗和だけが残る。

解答

(1)

$u = O P_{0}$ とおく。1回目に選ばれる頂点を $X$ とすると $O P_{1} = \frac{u + O X}{2}$ である。正三角形の重心は原点 $O$ だから

\frac{O A + O B + O C}{3} = 0

である。また $∣ O A ∣ = ∣ O B ∣ = ∣ O C ∣ = 1$ である。

したがって

E_{1} = E (∣ O P_{1} ∣^{2}) = \frac{1}{4} E (∣ u + O X ∣^{2}) = \frac{1}{4} (∣ u ∣^{2} + 2 u \cdot E (O X) + E (∣ O X ∣^{2})) = \frac{1}{4} (∣ u ∣^{2} + 1)

である。よって $E_{1} = \frac{∣ O P _{0} ∣ ^{2} + 1}{4}$ である。

(2)

選んだ頂点を順に $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ とする。操作の定義から

O P_{m} = \frac{O P _{m - 1} + O X _{m}}{2}

である。これを繰り返すと

O P_{n} = \frac{1}{2 ^{n}} O P_{0} + i = 1 \sum n \frac{1}{2 ^{n - i + 1}} O X_{i}

となる。

実際， $n = 1$ では明らかであり， $n - 1$ で成り立つとして両辺を2で割り，最後に $O X_{n} /2$ を加えれば $n$ の式が得られる。

(3)

$P_{0} = O$ のとき，(2)より

O P_{n} = i = 1 \sum n \frac{1}{2 ^{n - i + 1}} O X_{i}

である。ここで $i \neq = j$ なら，選択は独立であり，各頂点ベクトルの平均は0だから $E (O X_{i} \cdot O X_{j}) = 0$ である。また各 $i$ について $∣ O X_{i} ∣^{2} = 1$ である。したがって

E_{n} = E i = 1 \sum n \frac{1}{2 ^{n - i + 1}} O X_{i}^{2} = i = 1 \sum n \frac{1}{4 ^{n - i + 1}} = j = 1 \sum n \frac{1}{4 ^{j}} = \frac{1 - 4 ^{- n}}{3}

である。

別解。(3)は漸化式でも求められる。 $P_{0} = O$ とし， $P_{n}$ が決まっているとき，次に選ぶ頂点ベクトルの平均は0，長さの2乗は1であるから $E_{n + 1} = \frac{1}{4} E_{n} + \frac{1}{4}$ である。 $E_{0} = 0$ からこの漸化式を解くと $E_{n} = \frac{1 - 4 ^{- n}}{3}$ を得る。

京都大学 1996年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

京都大学 1996年度
理系数学第5問