問題
与えられた自然数に対し，数列を， によって定める．ただし実数に対しはを超えない最大の整数を表す．
(1) およびのとき，数列を求めよ．
(2) すべての自然数に対し，次の2つの不等式，が成り立つことを示せ．
(3) ならば，以上のすべての整数に対しであることを示し，このときのの値を求めよ．
出典：京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
整数部分の定義を使い，まず という上界を帰納法で示す。次にこの上界から を導き， が整数であることを使って を示す。固定した場合は， から を作り，上界 と合わせて に絞る。
解答
(1)
のとき であり， である。以後も同じ値が続くので である。 のときは
である。よって である。
(2)
まず を帰納法で示す。 なので では成り立つ。 と仮定すると である。したがって である。ここで は整数である。 が偶数のときも奇数のときも，整数が 以下であれば 以下である。よって となり，帰納法により上界が示された。
次に単調性を示す。上で示した上界から である。したがって である。 は整数であり， は を超えない最大の整数だから である。
以上より，すべての自然数 に対して が成り立つ。
(3)
とする。この共通の値を とおくと である。次の項も同じ計算で となる。これを繰り返せば である。
このときの値 を求める。整数部分の定義より である。左側の不等式から であり，右側の不等式から である。また(2)より である。したがって は を満たす整数である。この範囲にある整数はただ1つで， である。
よって となった後はすべて同じ値であり，その値は である。