問題
空間の3点，，と，で表される平面上の直線の上を動く点を考える．点を通り，直線に垂直な平面をとする．のとき，4面体と平面が交わってできる図形の面積の最大値を求めよ．
出典：京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
直線 の方向ベクトルは なので， に垂直で点 を通る平面は である。 では，点 はこの平面の片側， は反対側にあるため，断面は と辺 との交点でできる三角形になる。交点 を媒介変数で求め， の面積を内積公式で計算する。最後に得られた を1変数関数として最大化する。
解答
直線 の方向ベクトルは である。したがって，点 を通り直線 に垂直な平面 は すなわち である。 のとき，点 について であり，点 ， ではそれぞれ である。よって平面 は辺 ， と交わり，断面は三角形になる。
辺 と の交点を とする。辺 上の点は と書ける。これが を満たす条件は であるから である。したがって である。
同様に，辺 と の交点を とする。辺 上の点は であり， より である。よって となり である。
したがって断面は三角形 である。ここで である。よって である。三角形の面積の公式から
となる。 なので である。
あとは を最大にすればよい。微分すると である。 において となるのは であり，この点で増加から減少へ変わる。したがって最大値は である。