京都大学 1996年度後期・文系数学後期第5問解答・解説

問題

円周上の $n$ 等分点を、各点で公平なコインを投げ、表なら1点、裏なら2点進む。

(1) 最初の1周で出発点を跳び越す確率 $p_{n}$ を求めよ。

(2) 1周目では出発点を跳び越し、2周目に出発点を踏む確率 $r_{n}$ を求めよ。

出典：京都大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第5問

1歩または2歩でちょうど距離 $j$ へ到達する確率を漸化式で求める。跳び越しは距離 $n - 1$ から2歩進む場合に限られる。

距離 $j$ の点をちょうど踏む確率を $h_{j}$ とする。 $h_{0} = 1, h_{1} = 1/2$ であり、最後の一歩で分類すると

h_{j} = \frac{h _{j - 1} + h _{j - 2}}{2} (j ≧ 2) .

特性方程式から

h_{j} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{j} .

出発点を跳び越すには、距離 $n - 1$ を踏んだ後に2歩進む必要がある。従って

p_{n} = \frac{h _{n - 1}}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n} .

1周目に跳び越した直後は出発点から $n + 1$ だけ進んだ位置にいる。そこから2周目の出発点までの距離は $n - 1$ なので、これをちょうど踏む確率は $h_{n - 1}$ である。以後のコイン投げは独立だから

r_{n} = p_{n} h_{n - 1} = {\frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n}} {\frac{2}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n - 1}} .