問題
原点でに交わる直線について、をで反転した点を、をで反転した点をとする。
(1) を示せ。
(2) が単位円周上を動くとき、を順に結ぶ折れ線の長さの最大値を求めよ。
出典：京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
2直線に関する反転の合成を回転とみる。各線分長を直線までの距離で表し、60度刻みの正弦絶対値の和を最大化する。
解答
(1)
交点をとする。直線に関する反転に続いて直線に関する反転を行う合成変換は、を中心とする回転である。従ってはをそれぞれ回転した点であり、である。(2)の方向角を、の偏角をとする。の偏角はである。反転前後の2点間の距離は反転軸までの距離の2倍なので、折れ線全体の長さは
絶対値は周期だから
だけ調べれば十分で、この区間では3項はいずれも非負である。加法定理からその和は
等号はで成り立つ。従って最大値は