京都大学 1996年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

(1) $cos 5 θ = f (cos θ)$ を満たす多項式 $f (x)$ を求めよ。

(2) $cos \frac{π}{10} cos \frac{3 π}{10} cos \frac{7 π}{10} cos \frac{9 π}{10} = \frac{5}{16}$ を示せ。

出典：京都大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

5倍角公式を加法定理から作る。(2)では4つの余弦を $f (x)$ の非零根とみなし、平方の積を解と係数の関係で求める。

解答

(1)

$cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$ と加法定理を繰り返すと

cos 5 θ = 16 cos^{5} θ - 20 cos^{3} θ + 5 cos θ .

従って

f (x) = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x .

(2)

$θ = π /10, 3 π /10, 7 π /10, 9 π /10$ では $cos 5 θ = 0$ であり、余弦はいずれも0ではない。従ってそれらは

16 x^{4} - 20 x^{2} + 5 = 0

の4根である。また

cos \frac{7 π}{10} = - cos \frac{3 π}{10}, cos \frac{9 π}{10} = - cos \frac{π}{10} .

$u = x^{2}$ とおくと $16 u^{2} - 20 u + 5 = 0$ の2根は $cos^{2} (π /10), cos^{2} (3 π /10)$ である。解と係数の関係からその積は $5/16$ だから、求める4つの余弦の積も

cos^{2} \frac{π}{10} cos^{2} \frac{3 π}{10} = \frac{5}{16} .

京都大学 1996年度後期・文系数学 後期 第1問

問題