京都大学 1996年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

$n ≧ 2$ 、 $p$ を素数、 $a_{0}, \dots, a_{n - 1}$ を整数とし、 $f (x) = x^{n} + p a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + p a_{0}$ とする。

(1) $f (x) = 0$ が整数解 $α$ をもてば、 $p$ は $α$ を割ることを示せ。

(2) $p$ が $a_{0}$ を割らなければ整数解をもたないことを示せ。

出典：京都大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方程式を $p$ を法として見て根が $p$ の倍数であることを出し、その根を $p$ 倍と置いて定数項をもう一度調べる。

$f (α) = 0$ を $p$ を法として考えると

α^{n} \equiv 0 (mod p) .

$p$ は素数なので $p$ は $α$ を割る。(2)整数解 $α$ があると仮定する。(1)より $α = pβ$ と書ける。これを $f (α) = 0$ に代入して $p$ で割ると

p^{n - 1} β^{n} + p^{n - 1} a_{n - 1} β^{n - 1} + \dots + p a_{1} β + a_{0} = 0.

左辺の $a_{0}$ 以外はすべて $p$ で割り切れるので、 $a_{0}$ も $p$ で割り切れる。これは仮定に反する。従って整数解はない。