京都大学 1996年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

$a ≧ 0$ とする。 $- 1/2 ≦ (x - y) / (x + y) ≦ 1/2$ を満たすすべての正数 $x, y$ に対し、 $x^{3} - 3 a^{2} x y^{2} + 2 y^{3} ≧ 0$ となる $a$ の範囲を求めよ。

出典：京都大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

$t = x / y$ と置いて比の条件を区間条件へ直す。不等式を $a^{2}$ の上界として整理し、区間上の最小値を求める。

$t = x / y > 0$ とおく。比の条件は

- \frac{1}{2} ≦ \frac{t - 1}{t + 1} ≦ \frac{1}{2}

であり、 $t + 1 > 0$ に注意して解くと

\frac{1}{3} ≦ t ≦ 3.

また元の不等式を $y^{3} > 0$ で割ると

t^{3} - 3 a^{2} t + 2 ≧ 0.

従ってすべての $t \in [1/3, 3]$ で成り立つ必要十分条件は

a^{2} ≦ 1/3 ≦ t ≦ 3 min \frac{t ^{3} + 2}{3 t} = 1/3 ≦ t ≦ 3 min \frac{1}{3} (t^{2} + \frac{2}{t}) .

右辺の関数の導関数は $2 (t^{3} - 1) / (3 t^{2})$ なので、 $t = 1$ で最小値1をとる。 $a ≧ 0$ より求める範囲は

0 ≦ a ≦ 1.

実際、この範囲なら上の最小値評価により元の不等式は常に成り立つ。