京都大学 1990年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$n$ 本のくじの中に1本だけ当たりくじがある．このくじを無作為に1本ひき，ひいたくじをもとに戻すという試行を $l$ 回くり返す． $l$ 回のうち当たった回数を $X$ とする．確率変数 $X_{i}$ $(1 ≦ i ≦ l)$ を次により定める．

$X_{i} = {10 i 回目に当たりくじがでたとき， i 回目に当たりくじがでないとき．$

(1) 確率変数 $X$ を $X_{i}$ $(1 ≦ i ≦ l)$ で表わせ．

(2) $X^{2}$ の期待値 $E (X^{2})$ を求めよ．

(3) $E (X^{2}) > 2$ となる最小の $l$ は何か．

出典：京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

当たり回数は各回の指示変数の和である。二乗を展開すると $X_{i}^{2} = X_{i}$ であり、異なる回の積の期待値は独立性から $1/ n^{2}$ になる。(3)は得られた式が $l$ に関して増加することを用い、 $l = n$ と $l = n + 1$ を比較する。

各回の当たりを足せばよいので

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{l} .

$X_{i}^{2} = X_{i}$ であり、 $E (X_{i}) = 1/ n$ である。また $i \neq = j$ のとき各回は独立だから $E (X_{i} X_{j}) = 1/ n^{2}$ である。したがって

E (X^{2}) = E i = 1 \sum l X_{i}^{2} + 2 1 ≦ i < j ≦ l \sum X_{i} X_{j} = \frac{l}{n} + 2 \cdot \frac{l ( l - 1 )}{2} \cdot \frac{1}{n ^{2}} = \frac{l}{n} + \frac{l ( l - 1 )}{n ^{2}} .

(2)の式は自然数 $l$ に関して増加する。 $l = n$ のとき

E (X^{2}) = 1 + \frac{n - 1}{n} = 2 - \frac{1}{n} < 2.

一方、 $l = n + 1$ のとき

E (X^{2}) = \frac{n + 1}{n} + \frac{n ( n + 1 )}{n ^{2}} = 2 + \frac{2}{n} > 2.

よって条件を満たす最小の $l$ は

l = n + 1

である。