京都大学 1990年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

座標空間に3点 $P$ ， $Q$ ， $R$ があって毎秒1の速さで，それぞれ

点 $P$ は原点 $(0, 0, 0)$ を出発して $x$ 軸上を正の方向へ，

点 $Q$ は点 $(2, 0, 0)$ を出発して $y$ 軸と平行に正の方向へ，

点 $R$ は点 $(2, 2, 0)$ を出発して $z$ 軸と平行に正の方向へ

進む．このとき三角形 $P QR$ の面積 $S$ が最小となるのは何秒後か．

出典：京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

出発後 $t$ 秒の座標を置き、二辺ベクトルから面積の二乗を求める。式は $t$ と $2 - t$ に対称なので、 $p = t (2 - t)$ を導入すると二次式になり、時間の範囲 $t ≧ 0$ で直ちに最小化できる。

$t$ 秒後には

P = (t, 0, 0), Q = (2, t, 0), R = (2, 2, t)

である。 $P Q = (2 - t, t, 0)$ 、 $P R = (2 - t, 2, t)$ より、三角形の面積 $S$ は

4 S^{2} = t^{4} + t^{2} (2 - t)^{2} + (2 - t)^{4}

を満たす。

$p = t (2 - t)$ とおくと $t + (2 - t) = 2$ なので

4 S^{2} = {t^{2} + (2 - t)^{2}}^{2} - t^{2} (2 - t)^{2} = 16 - 16 p + 3 p^{2} .

$t ≧ 0$ に対して $p = t (2 - t) ≦ 1$ である。また $3 p^{2} - 16 p + 16$ は $p ≦ 1$ で減少するから、 $p$ が最大のとき $S$ は最小になる。 $p = 1$ は $t = 1$ のときである。

よって求める時刻は

1 秒後

である。