京都大学 1990年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

曲線 $y = x^{4} - 6 x^{2}$ に，点 $(a, b)$ を通る4つの接線が引けるのは， $(a, b)$ がどのような範囲にあるときか，図示せよ．

出典：京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

接点の $x$ 座標を $t$ として、点 $(a, b)$ を通る接線の条件を $t$ の四次方程式にする。四本の接線が引けることは、その方程式が相異なる四実根を持つことと同値である。右辺を $t$ の関数と見て、三つの極値 $t = - 1, 1, a$ の高さを比較する。

接点を $(t, t^{4} - 6 t^{2})$ とすると、接線は

y = (4 t^{3} - 12 t) x - 3 t^{4} + 6 t^{2}

である。これが $(a, b)$ を通る条件は

b = ϕ_{a} (t) := 4 a t^{3} - 12 a t - 3 t^{4} + 6 t^{2}

である。したがって四本の接線が引けるための必要十分条件は、水平線 $y = b$ が $y = ϕ_{a} (t)$ と相異なる四点で交わることである。

微分すると

ϕ_{a}^{'} (t) = - 12 (t - a) (t - 1) (t + 1) .

また

ϕ_{a} (- 1) = 3 + 8 a, ϕ_{a} (1) = 3 - 8 a, ϕ_{a} (a) = a^{4} - 6 a^{2}

である。三つの停留点を左から並べると、外側の二点が極大、中央が極小になる。よって求める範囲は次の開領域である。

⎩ ⎨ ⎧ 3 + 8 a < b < min {a^{4} - 6 a^{2}, 3 - 8 a}, a^{4} - 6 a^{2} < b < 3 - 8∣ a ∣, 3 - 8 a < b < min {a^{4} - 6 a^{2}, 3 + 8 a}, a < - 1, - 1 < a < 1, a > 1.

境界上では重解が生じるため含まない。また $a = \pm 1$ では停留点が重なり、四つの相異なる接点は得られない。

図示すると、境界は二直線 $b = 3 + 8 a, b = 3 - 8 a$ と四次曲線 $b = a^{4} - 6 a^{2}$ からなる。上側境界の切替点は $a = - 3, 0, 3$ であり、上の不等式で指定された各帯状部分を塗ればよい。