京都大学 1990年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

関数 $y = lo g x$ のグラフ上の1点 $P (s, lo g s)$ $(s ≧ 1)$ における接線と $y$ 軸の交点を $Q$ とする．グラフ上に定点 $A (1, 0)$ をとる． $A P$ 間のグラフの長さを $A P ⌢$ ，線分 $P Q$ の長さを $\overline{P Q}$ とし， $t = \overline{P Q} - A P ⌢$ とする．
$t$ は $s$ の関数である．

(1) $\frac{d t}{d s}$ を $s$ で表わせ．

(2) $u = \frac{1}{s}$ ， $v = 1 + u^{2}$ とおくとき， $\frac{d u}{d t}$ および $\frac{d v}{d t}$ を $u$ の関数として表わせ．

(3) $u$ を $t$ の関数として表わせ．

出典：京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

接線の $y$ 切片から $P Q$ を求め、弧長は微小区間の長さを積分して表す。(1)の差は大きく約分される。(2)では $u = 1/ s$ に直すと $d u / d t = v, d v / d t = u$ という対称な連立関係になるので、 $u + v$ と $v - u$ を別々に解く。

解答

(1)

点 $P$ における接線は $y - lo g s = \frac{1}{s} (x - s)$ であるから $Q = (0, lo g s - 1)$ である。よって $\overline{P Q} = s^{2} + 1$ であり、

A P ⌢ = \int_{1}^{s} 1 + \frac{1}{x ^{2}} d x .

したがって

\frac{d t}{d s} = \frac{s}{s ^{2} + 1} - 1 + \frac{1}{s ^{2}} = - \frac{1}{s s ^{2} + 1} .

(2)

$u = 1/ s, v = 1 + u^{2}$ とすると

\frac{d t}{d s} = - \frac{u ^{2}}{v}, \frac{d u}{d s} = - u^{2} .

よって

\frac{d u}{d t} = v .

また $\frac{d v}{d u} = \frac{u}{v}$ であるから

\frac{d v}{d t} = \frac{u}{v} \frac{d u}{d t} = u .

(3)

$s = 1$ のとき $u = 1, v = 2, t = 2$ である。(2)より

\frac{d}{d t} (u + v) = u + v, \frac{d}{d t} (v - u) = - (v - u) .

したがって

u + v = (1 + 2) e^{t - 2}, v - u = (2 - 1) e^{- (t - 2)} .

両式の差を取ると

u (t) = \frac{1}{2} {(1 + 2) e^{t - 2} - (2 - 1) e^{- (t - 2)}} .

京都大学 1990年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

京都大学 1990年度
後期・理系数学後期第3問