京都大学 1990年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$f (x) = \frac{a - cos x}{x ^{2}}$ が $0 < x ≦ \frac{π}{2}$ の範囲で増加関数となるような定数 $a$ のうち最大のものを求めよ．

出典：京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

$f^{'} (x) ≧ 0$ を $a$ の上限条件に直す。すべての $x$ で成り立つ最大の $a$ は、 $g (x) = cos x + \frac{x}{2} sin x$ の最小値である。 $g^{'} (x)$ の符号は $tan x > x$ を微分で示せば決まる。

f^{'} (x) = \frac{x sin x - 2 ( a - cos x )}{x ^{3}} = \frac{2 ( cos x + \frac{x}{2} sin x - a )}{x ^{3}} .

したがって $f$ が増加関数となる条件は

a ≦ g (x) := cos x + \frac{x}{2} sin x (0 < x ≦ \frac{π}{2})

がすべての $x$ で成り立つことである。

ここで

g^{'} (x) = \frac{x cos x - sin x}{2} .

$h (x) = sin x - x cos x$ とおけば $h^{'} (x) = x sin x > 0$ 、 $h (0) = 0$ であるから、 $x > 0$ では $h (x) > 0$ である。よって $g^{'} (x) < 0$ であり、 $g$ は区間全体で減少する。

したがって

0 < x ≦ π /2 in f g (x) = g (\frac{π}{2}) = \frac{π}{4} .

$a = \frac{π}{4}$ のとき $f^{'} (x) > 0$ （ $0 < x < π /2$ ）で、端点では $f^{'} (π /2) = 0$ となるので条件を満たす。以上より最大値は

a = \frac{π}{4}

である。