京都大学 1989年度
理系数学 第6問

解答

水深を $y$ m とする。円錐は底面が下側にあるので、水面の半径は、頂点までの残りの高さ $10-y$ に比例する。したがって水面の面積は $C(10-y{)}^2$ と書ける。ただし $C$ はタンクの大きさと単位換算を含む正の定数である。

水の体積を $V$、時間を分単位で $t$ とする。水深が $y$ から少し増えるときの体積の増加率は水面の面積であるから $\frac{dV}{dy}=C(10-y{)}^2$ である。また、注水速度は問題文より $\frac{dV}{dt}=10-y$ である。したがって $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dy}\frac{dy}{dt}$ より $C(10-y{)}^2\frac{dy}{dt}=10-y$ である。$y<10$ なので $10-y>0$ であり、$\frac{dt}{dy}=C(10-y)$ を得る。

空の状態、すなわち $y=0$ から水深 $y$ になるまでの時間は ${\int }_0^{y}C(10-u)du=C\left(10y-\frac{y^2}{2}\right)$ 分である。

9時間後、すなわち $540$ 分後に水位が $2$ m になったので $540=C\left(10\cdot 2-\frac{2^2}{2}\right)=C(20-2)=18C$ である。よって $C=30$ である。

満水は $y=10$ のときである。空から満水までの時間は $30\left(10\cdot 10-\frac{10^2}{2}\right)=30(100-50)=1500$ 分である。これは $\frac{1500}{60}=25$ 時間である。

すでに9時間経過しているので、満水になるのはあと $25-9=16$ 時間後である。

別解。微分記号を使わずに、薄い水の層で考えてもよい。水深 $y$ の近くで厚さ $\Delta y$ だけ水位を上げるには、必要な水量は $(10-y{)}^2\Delta y$ に比例する。一方、注水速度は $10-y$ に比例するから、必要時間は $(10-y)\Delta y$ に比例する。したがって時間は $\int (10-y)dy$ に比例し、上と同じ計算になる。