京都大学 1989年度理系数学第1問解答・解説

問題

$O A_{1} = O B_{1} = 1$ ， $∠ B_{1} O A_{1} = θ$ $(0 < θ < π)$ であるような二等辺三角形 $O A_{1} B_{1}$ がある．
辺 $A_{1} B_{1}$ の中点を $B_{2}$ とし，辺 $O A_{1}$ 上に $O A_{2} = O B_{2}$ となる点 $A_{2}$ をとり，二等辺三角形 $O A_{2} B_{2}$ を作る．以下同様にして， $n > 2$ についても二等辺三角形 $O A_{n} B_{n}$ を作っていく．
辺 $O A_{n}$ の長さを $a_{n}$ とおく．

(1) $a_{3} \cdot sin \frac{θ}{4}$ を計算せよ．

(2) $n \to \infty lim a_{n}$ を計算せよ．

出典：京都大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

各段階の二等辺三角形で、頂角は前段階の半分になる。辺 $A_{n} B_{n}$ の中点は頂角の二等分線上にあり、 $O B_{n + 1} = O A_{n} cos (θ_{n} /2)$ となるので、 $a_{n + 1} = a_{n} cos (θ / 2^{n})$ が得られる。ただし積をそのまま扱うより、倍角公式から $a_{n} sin (θ / 2^{n - 1}) = sin θ / 2^{n - 1}$ を導く方が、(1)も極限も自然に処理できる。

解答

三角形 $O A_{n} B_{n}$ の頂角を $θ_{n} = ∠ B_{n} O A_{n}$ とする。 $O A_{n} = O B_{n}$ であるから、辺 $A_{n} B_{n}$ の中点は、頂点 $O$ から見た角の二等分線上にある。したがって作り方より $θ_{n + 1} = \frac{θ _{n}}{2}$ であり、 $θ_{1} = θ$ だから $θ_{n} = \frac{θ}{2 ^{n - 1}}$ である。

また、 $B_{n + 1}$ は辺 $A_{n} B_{n}$ の中点である。二等辺三角形の頂点から底辺の中点までの長さは $O B_{n + 1} = O A_{n} cos \frac{θ _{n}}{2}$ である。さらに $O A_{n + 1} = O B_{n + 1}$ となるように $A_{n + 1}$ を取るので $a_{n + 1} = a_{n} cos \frac{θ _{n}}{2} = a_{n} cos \frac{θ}{2 ^{n}}$ である。

(1)

$a_{1} = 1$ より

a_{2} = cos \frac{θ}{2}, a_{3} = cos \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{4}

である。一方、倍角公式を2回用いると

sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} = 4 sin \frac{θ}{4} cos \frac{θ}{4} cos \frac{θ}{2}

である。したがって

a_{3} sin \frac{θ}{4} = cos \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{4} sin \frac{θ}{4} = \frac{sin θ}{4}

である。

(2)

上の漸化式と倍角公式から、次の形を作る。 $n ≧ 1$ に対して $a_{n} sin \frac{θ}{2 ^{n - 1}} = \frac{s i n θ}{2 ^{n - 1}}$ が成り立つことを示す。 $n = 1$ では $a_{1} = 1$ なので正しい。これが $n$ で成り立つとすると、

a_{n + 1} sin \frac{θ}{2 ^{n}} = a_{n} cos \frac{θ}{2 ^{n}} sin \frac{θ}{2 ^{n}} = \frac{1}{2} a_{n} sin \frac{θ}{2 ^{n - 1}} = \frac{sin θ}{2 ^{n}}

である。よって帰納的に成り立つ。

したがって $a_{n} = \frac{s i n θ}{2 ^{n - 1} s i n ( θ / 2 ^{n - 1} )}$ である。ここで $u_{n} = \frac{θ}{2 ^{n - 1}}$ とおくと、 $n \to \infty$ のとき $u_{n} \to 0$ であり、 $a_{n} = \frac{s i n θ}{θ} \cdot \frac{u _{n}}{s i n u _{n}}$ である。 $lim_{u \to 0} sin u / u = 1$ より $lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{s i n θ}{θ}$ である。

京都大学 1989年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1989年度
理系数学第1問