問題
個の実数があり，各は他の個の相加平均より大きくはないという．
このようなの組をすべて求めよ．
出典：京都大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
全体の和を とおくと、条件は各 について 、すなわち になる。最大値 に適用して を得る一方、すべての項が 以下なので である。したがって等号しかなく、全ての項が最大値に等しい。最後に逆向きとして、全て等しい組は各項が他の 個の相加平均に等しいことを確認する。
解答
とおく。条件は、各 について である。 なので であり、両辺を 倍して整理すると すなわち を得る。 の最大値を とする。最大値をとる項にも を適用できるから である。一方、すべての は 以下なので である。よって である。
各 であり、 個の和が に等しい。もし より小さい項が1つでもあれば和は より小さくなるので、すべての項が に等しい。したがって である。
逆に、 ならば、各 は他の 個の相加平均に等しい。したがって条件を満たす。
以上より、求める組は を満たすもの全てである。
別解。 を全ての について足すと、左辺も右辺も になる。各差 は 以上で、その和が であるから、全て である。よって が全ての で成り立ち、全て等しい。