問題
四面体において，，，はたがいに直交している．となる点を通りに直交する平面による四面体の切り口は，どのような図形か．，，のそれぞれの長さ，，の関係により区分して述べよ．
また，，，のとき，その切り口の面積を求めよ．
方針
, , を座標軸に取り、, , と置く。切断平面は を通り、法線が なので で表される。四面体の各頂点がこの平面のどちら側にあるかは、 と の比較で決まる。上側にある頂点の個数と等号の有無で、切り口が三角形か四角形かを分類する。数値例では3つとも上側なので、座標軸上の切片三角形の面積を求める。
解答
, , は互いに直交しているので、これらを座標軸の正の向きに取る。すなわち とおく。このとき であり、 に平行な法線ベクトルは と取れる。したがって切断平面は
すなわち である。
以下 とおく。頂点 における左辺 の値は、それぞれ である。 は常に平面の下側にあり、 がどちら側にあるかは と の大小で決まる。
つまり であり、 についても同様である。切り口は、平面の両側に分かれる頂点を結ぶ辺上に現れ、平面上にある頂点はそのまま切り口の頂点になる。
分類は次のようになる。 がすべて より大きいとき、平面は の3辺を切る。したがって切り口は三角形である。 のうち、ちょうど2つが より大きく、残り1つが より小さいとき、平面は4本の辺を切る。したがって切り口は四角形である。 のうち、ちょうど1つが より大きく、残り2つが より小さいとき、平面はその大きい頂点から出る3本の辺を切る。したがって切り口は三角形である。
また、 のいずれかが に等しい場合、切り口は対応する頂点を通る。この場合は上の三角形と四角形の境界に当たり、切り口は三角形である。以上が の関係による分類である。
次に , , の場合を考える。このとき である。さらに だから、切り口は 上に頂点をもつ三角形である。
平面の方程式は である。したがって3つの座標軸との交点は
である。
一般に、, , とすると である。よって
であり、三角形の面積 は
である。
ここで を代入する。すると
である。