京都大学 1989年度
理系数学 第3問

解答

$f(x)$ は3次式であるから、適当な実数 $h$、$p$、$q$ と $A\ne 0$ を用いて $f(x)=A(x-h{)}^3+p(x-h)+q$ と書ける。これは、3次式を平行移動して2次の項を消した形である。 $u=x-h$ とおくと $f(x)=A{u}^3+pu+q$ であり、$f^{\prime }(x)=3A{u}^2+p$ である。$f(x)$ を $f^{\prime }(x)$ で割ることは、$A{u}^3+pu+q$ を $3A{u}^2+p$ で割ることと同じである。

実際に割ると、まず商の一部は $u/3$ であり、$\frac{u}{3}(3A{u}^2+p)=A{u}^3+\frac{p}{3}u$ である。したがって余りは $(A{u}^3+pu+q)-\left(A{u}^3+\frac{p}{3}u\right)=\frac{2p}{3}u+q$ である。

問題の条件より、この余りは定数である。したがって $u$ の係数は $0$ でなければならないから $\frac{2p}{3}=0$ すなわち $p=0$ である。よって $f(x)=A(x-h{)}^3+q$ の形である。

方程式 $f(x)=0$ は $A(x-h{)}^3+q=0$ すなわち $(x-h{)}^3=-\frac{q}{A}$ である。実数 $r$ に対して $z^3=r$ を満たす実数 $z$ はただ1つであるから、$x-h$ もただ1つに決まる。したがって $f(x)=0$ を満たす実数 $x$ はただ1つである。

別解。$f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$ とおいて直接割り算をしてもよい。このとき $f^{\prime }(x)=3A{x}^2+2Bx+C$ であり、余りの $x$ の係数は $\frac{6AC-2B^2}{9A}$ となる。余りが定数であることから $B^2=3AC$ となり、$f^{\prime }(x)=3A{\left(x+\frac{B}{3A}\right)}^2$ である。これを積分しても $f(x)=A(x-h{)}^3+q$ の形が得られる。