京都大学 1988年度後期・文系数学第5問解答・解説

問題

座標空間において $e_{1} = (1, 0, 0)$ ， $e_{2} = (0, 1, 0)$ ， $e_{3} = (0, 0, 1)$ とする．原点を出発点とし，サイコロを振り，出た目の数によって点を移動させる．出た目が1か4のときは $e_{1}$ ，2か5のときは $e_{2}$ ，3か6のときは $e_{3}$ だけ点を移動させるものとする．

(1) サイコロを3回振ったとき，点が $(1, 2, 0)$ にある確率を求めよ．

(2) サイコロを $n$ 回振ったとき，点が3つの座標平面のいずれかの上にある確率を求めよ．

出典：京都大学 1988年度後期日程第2次学力試験後期・文系第5問

方針

各回の移動方向は3種類がそれぞれ確率 $1/3$ で独立に選ばれる。(1)は3回中の方向別回数を数える。(2)は少なくとも1方向が一度も選ばれない事象として、3つの事象に包除原理を適用する。2方向がともに選ばれない確率まで差し引く。

解答

各回に $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ のいずれかへ進む確率は、それぞれ $2/6 = 1/3$ である。

(1)

点 $(1, 2, 0)$ に到達するには、3回のうち $e_{1}$ を1回、 $e_{2}$ を2回、 $e_{3}$ を0回選べばよい。 $e_{1}$ を選ぶ回の位置は3通りだから、確率は

3 (\frac{1}{3})^{3} = \frac{1}{9}

である。

(2)

第 $i$ 座標が0である事象、すなわち $e_{i}$ が一度も選ばれない事象を $A_{i}$ とする。1つの方向を避ける確率は各回 $2/3$ なので

P (A_{i}) = (\frac{2}{3})^{n} .

また、異なる2方向をともに避けるには残りの1方向だけを毎回選ぶから

P (A_{i} \cap A_{j}) = (\frac{1}{3})^{n} .

$n$ は正の整数なので、3方向をすべて避けることは不可能である。包除原理より、3つの座標平面の少なくとも1つの上にある確率は

P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) = 3 (\frac{2}{3})^{n} - 3 (\frac{1}{3})^{n} = \frac{2 ^{n} - 1}{3 ^{n - 1}} .

したがって答えは (1) $\frac{1}{9}$ 、(2) $\frac{2 ^{n} - 1}{3 ^{n - 1}}$ である。

京都大学 1988年度後期・文系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1988年度
後期・文系数学第5問