問題
をの3次式とする．すべての整数に対してが整数になるための必要十分条件は，適当な整数，，をとると，
と表されることであることを示せ．
出典：京都大学 1988年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 第2問
方針
十分性は、連続する2整数の積が2の倍数、連続する3整数の積が6の倍数であることから示す。必要性は表示式の右辺を とし、 の値を順に使って整数 を構成する。最後に が4点で0になる3次以下の多項式であることから恒等的に0と結ぶ。
解答
まず十分性を示す。 が整数で表示式が成り立つとする。整数 に対して は連続する2整数の積だから2で割り切れる。また は連続する3整数の積であり、その中に偶数と3の倍数が少なくとも1つずつあるから6で割り切れる。したがって表示式の各項は整数であり、 は整数である。
次に必要性を示す。すべての整数 に対して が整数であると仮定する。まず
とおけば は整数である。次に
とおけば も整数である。さらに
とおけば も整数である。
この を用いて
とおく。定義から 、、 である。また である。したがって3次以下の多項式 は相異なる4点 を根にもつので、恒等的に0である。よって となる。
以上により、提示された表示は必要かつ十分である。