京都大学 1988年度後期・文系数学第3問解答・解説

問題

だ円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 上の点 $P$ における接線 $l$ と，原点 $O$ を通り $l$ と直交する直線 $l^{'}$ との交点を $Q$ とする． $θ = ∠ P O Q$ とするとき， $cos θ$ の最小値を求めよ．

出典：京都大学 1988年度後期日程第2次学力試験後期・文系第3問

方針

楕円上の点を $P = (a cos t, b sin t)$ とおく。接線の法線方向は $(cos t / a, sin t / b)$ なので、 $O Q$ はこの方向に平行である。内積で $cos θ$ を表し、分母の積の平方を整理する。 $cos^{2} t sin^{2} t \leq 1/4$ を使い、分母最大、したがって余弦最小を求める。

解答

$P = (a cos t, b sin t)$ とおく。 $P$ における接線は

\frac{x cos t}{a} + \frac{y sin t}{b} = 1

であり、その法線ベクトルは

n = (\frac{cos t}{a}, \frac{sin t}{b})

である。 $O Q$ は接線に垂直だから、 $O Q$ は $n$ と同じ向きである。また

O P \cdot n = a cos t \frac{cos t}{a} + b sin t \frac{sin t}{b} = 1 > 0

なので

cos θ = \frac{1}{a ^{2} cos ^{2} t + b ^{2} sin ^{2} t \frac{cos ^{2} t}{a ^{2}} + \frac{sin ^{2} t}{b ^{2}}} .

分母の平方を計算すると

(a^{2} cos^{2} t + b^{2} sin^{2} t) (\frac{cos ^{2} t}{a ^{2}} + \frac{sin ^{2} t}{b ^{2}}) = 1 + cos^{2} t sin^{2} t (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})^{2} .

ここで $0 \leq cos^{2} t sin^{2} t \leq \frac{1}{4}$ であり、上端は $cos^{2} t = sin^{2} t = \frac{1}{2}$ のときに実現する。したがって分母が最大、すなわち $cos θ$ が最小となる値は

\frac{1}{1 + \frac{1}{4} ( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} ) ^{2}} = \frac{2 ab}{a ^{2} + b ^{2}}

である。よって最小値は $\frac{2 ab}{a ^{2} + b ^{2}}$ である。

京都大学 1988年度後期・文系数学 第3問

問題

方針

解答

京都大学 1988年度
後期・文系数学第3問