京都大学 1988年度後期・文系数学第4問解答・解説

問題

3次曲線 $y = - x^{3} + 2 x^{2}$ 上の，原点以外の点における接線が原点を通るとき，この接線と，もとの曲線とで囲まれる領域の面積を求めよ．

出典：京都大学 1988年度後期日程第2次学力試験後期・文系第4問

接点の $x$ 座標を $t$ とおき、接線が原点を通る条件 $f (t) = t f^{'} (t)$ を立てる。 $t \neq = 0$ に注意して接点を決め、接線と曲線の交点および上下関係を因数分解で確認して定積分を計算する。

$f (x) = - x^{3} + 2 x^{2}$ とおくと $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 4 x$ である。接点を $(t, f (t))$ とする。この点における接線が原点を通るための条件は

0 - f (t) = f^{'} (t) (0 - t),

すなわち $f (t) = t f^{'} (t)$ である。したがって

- t^{3} + 2 t^{2} = t (- 3 t^{2} + 4 t)

より $2 t^{2} (t - 1) = 0$ となる。接点は原点以外なので $t = 1$ であり、接点は $(1, 1)$ である。ここで $f^{'} (1) = 1$ だから接線は $y = x$ である。

曲線と直線の差は

f (x) - x = - x^{3} + 2 x^{2} - x = - x (x - 1)^{2}

である。したがって交点は $x = 0, 1$ で、 $0 < x < 1$ では $f (x) < x$ である。よって囲まれた面積は

S = \int_{0}^{1} {x - (- x^{3} + 2 x^{2})} d x = [\frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{4} - \frac{2 x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12} .

したがって求める面積は $\frac{1}{12}$ である。