京都大学 1987年度後期・文系数学第4問解答・解説

問題

3次関数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b$ が区間 $0 ≦ x ≦ 1$ において，つねに正の値をとるのは，点 $(a, b)$ が座標平面のどの範囲にあるときかを，図示せよ．

出典：京都大学 1987年度後期日程第2次学力試験後期・文系第4問

方針

$f = b + h$ 、 $h = x^{3} + a x^{2}$ とおき、 $h$ の区間最小値を $a$ の値で場合分けする。導関数 $x (3 x + 2 a)$ の区間内の符号から、最小点が $0$ 、 $- 2 a /3$ 、 $1$ のどれかを決める。

解答

$h (x) = x^{3} + a x^{2}$ とおくと $f (x) > 0$ は $b > - min h$ と同値である。

h^{'} (x) = x (3 x + 2 a) .

$a \geq 0$ では $h$ は増加し最小値は $h (0) = 0$ 。 $- \frac{3}{2} \leq a < 0$ では $x = - \frac{2 a}{3}$ で最小となり、その値は $\frac{4 a ^{3}}{27}$ 。 $a < - \frac{3}{2}$ では区間全体で減少し最小値は $h (1) = 1 + a$ である。よって求める範囲は

⎩ ⎨ ⎧ b > - a - 1, b > - \frac{4 a ^{3}}{27}, b > 0, a < - \frac{3}{2}, - \frac{3}{2} \leq a < 0, a \geq 0.

各境界上では区間内のある点で $f = 0$ となるので境界は含まない。したがって、連続につながる3本の境界曲線の上側を図示すればよい。

京都大学 1987年度後期・文系数学 第4問

問題

方針

解答

京都大学 1987年度
後期・文系数学第4問