京都大学 1987年度後期・文系数学第1問解答・解説

問題

次の分数式が既約分数でないような定数 $a$ の値を求め，そのときの分数式を約分せよ．

\frac{x ^{3} - a x ^{2} + 12 x - a - 3}{x ^{3} - ( a + 1 ) x ^{2} + 16 x - a - 6}

出典：京都大学 1987年度後期日程第2次学力試験後期・文系第1問

分子を $P (x)$ 、分母を $Q (x)$ とする。共通因子は差 $Q - P = - (x - 1) (x - 3)$ も割るので、共通根は1または3に限られる。各値を $P$ に代入して $a$ を決め、実際に因数分解して約分する。

分子、分母をそれぞれ $P (x), Q (x)$ とおくと

Q (x) - P (x) = - x^{2} + 4 x - 3 = - (x - 1) (x - 3) .

分数式が既約でないなら、 $P, Q$ の共通因子は $Q - P$ も割る。したがって共通根は $x = 1$ または $x = 3$ である。

$x = 1$ のとき $P (1) = 10 - 2 a$ だから $a = 5$ である。このとき

P = (x - 1) (x^{2} - 4 x + 8), Q = (x - 1) (x^{2} - 5 x + 11),

よって約分後は $\frac{x ^{2} - 4 x + 8}{x ^{2} - 5 x + 11}$ である。

$x = 3$ のとき $P (3) = 60 - 10 a$ だから $a = 6$ である。このとき

P = (x - 3) (x^{2} - 3 x + 3), Q = (x - 3) (x - 2)^{2},

よって約分後は $\frac{x ^{2} - 3 x + 3}{( x - 2 ) ^{2}}$ である。以上より $a = 5, 6$ であり、これ以外には共通因子をもたない。