京都大学 1987年度後期・文系数学第2問解答・解説

問題

行列 $A = (a c b d)$ が次の条件(＊)をみたすのは， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ にどのような関係があるときか．

(＊) 「 $(x, y)$ と $(z, w)$ が直交するベクトルであれば， $(x, y) A$ と $(z, w) A$ も直交するベクトルである．ただし，零ベクトル $(0, 0)$ はどんなベクトルとも直交するものとみなす．」

出典：京都大学 1987年度後期日程第2次学力試験後期・文系第2問

まず $(1, 0)$ と $(0, 1)$ 、次に $(1, 1)$ と $(1, - 1)$ を選んで必要条件を得る。十分性は像の内積を展開し、得た2条件のもとで元の内積の定数倍になることを示す。

$(1, 0)$ と $(0, 1)$ は直交する。その像は $(a, b)$ と $(c, d)$ なので

a c + b d = 0 (1)

が必要である。また $(1, 1)$ と $(1, - 1)$ も直交し、その像は $(a + c, b + d)$ と $(a - c, b - d)$ である。内積を0とすると

a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2} (2)

を得る。

逆に(1),(2)を仮定する。 $λ = a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$ とおく。任意の行ベクトル $u = (x, y), v = (z, w)$ について

(u A) \cdot (v A) = λ (x z + y w) + (a c + b d) (x w + y z) = λ (u \cdot v) .

したがって $u \cdot v = 0$ なら像の内積も0である。零行列の場合もこの式に含まれる。よって必要十分条件は

a c + b d = 0, a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}

である。