京都大学 1987年度後期・文系数学第3問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ は正の定数で，平面上に4点 $O (0, 0)$ ， $A (0, a)$ ， $B (1, b)$ ， $C (1, 0)$ と，放物線 $y = a x^{2}$ を平行移動した曲線 $H$ で，2点 $A$ ， $B$ を通るものが与えられている．

(1) $H$ の弧 $A B$ は台形 $O A B C$ の中にあることを示せ．

(2) $H$ の弧 $A B$ が台形 $O A B C$ の面積を二等分することはないことを示せ．

出典：京都大学 1987年度後期日程第2次学力試験後期・文系第3問

方針

上辺 $A B$ の直線を $L (x)$ とする。 $H - L$ は最高次係数 $a$ で $x = 0, 1$ を根にもつので $a x (x - 1)$ となる。(1)は上辺以下であることと $H > 0$ を確認する。(2)は $H$ の下側の面積を積分し、台形面積の半分とは一致しないことを示す。

解答

$A B$ を結ぶ直線を $L (x) = a + (b - a) x$ とする。 $H$ を $y = h (x)$ と書けば、 $h - L$ は2次係数 $a$ で $x = 0, 1$ を根にもつから

h (x) = L (x) + a x (x - 1) = a + (b - 2 a) x + a x^{2} .

(1)

$0 \leq x \leq 1$ では $x (x - 1) \leq 0$ なので $h (x) \leq L (x)$ である。また頂点の $x$ 座標は $1 - \frac{b}{2 a} < 1$ である。これが $0$ 以下なら $h$ は区間で増加して $h \geq h (0) = a > 0$ 。これが $(0, 1)$ 内なら最小値は $\frac{b ( 4 a - b )}{4 a} > 0$ である。よって弧は底辺より上、上辺より下にあり、台形内にある。

(2)

弧より下の面積は

\int_{0}^{1} h (x) d x = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} .

台形の面積は $\frac{a + b}{2}$ だから、二等分するなら

\frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{a + b}{4}

となるはずである。しかしこれは $a + 3 b = 0$ と同値で、 $a, b > 0$ に反する。したがって二等分することはない。

京都大学 1987年度後期・文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1987年度
後期・文系数学第3問