京都大学 1984年度理系数学第6問解答・解説

問題

区間 $[a, b] = {x ∣ a ≦ x ≦ b}$ で定義された関数 $f (x)$ について，次のことを仮定する．

(イ) 関数 $f (x)$ は連続であり，更に $f (x)$ およびその導関数 $f^{'} (x)$ について，微分と積分を自由に行うことができる．

(ロ) 区間 $[a, b]$ で，つねに不等式 $a ≦ f (x) ≦ b$ が成り立つ．

(ハ) 区間 $[a, b]$ でつねに不等式 $∣ f^{'} (x) ∣ ≦ k < 1$ が成り立つような定数 $k$ が存在する．

このとき，次の問に答えよ．

(1) 等式 $f (c_{0}) = c_{0}$ を満たす値 $c_{0}$ が，区間 $[a, b]$ の中に，ただ1つ存在することを，簡単に説明せよ．

(2) 区間 $[a, b]$ の中の(任意の)1つの値 $d_{0}$ から出発して， $d_{1} = f (d_{0})$ ， $d_{n + 1} = f (d_{n})$ $(n = 1, 2, \dots)$ とおく．このとき，不等式 $∣ d_{n} - c_{0} ∣ ≦ k^{n} ∣ d_{0} - c_{0} ∣$ $(n = 1, 2, \dots)$ が成立することを示せ．ただし， $c_{0}$ は問(1)に述べられている値とする．

出典：京都大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

存在は $F (x) = f (x) - x$ に中間値の定理を使う。一意性は、2つの固定点があると仮定して平均値の定理を適用し、 $∣ f^{'} ∣ ≦ k < 1$ から距離が自分自身より真に縮む矛盾を出す。反復列については、条件 $a ≦ f (x) ≦ b$ で各 $d_{n}$ が区間内に残ることを確認し、同じ縮小評価を繰り返す。

解答

(1)

$F (x) = f (x) - x$ とおく。条件 (ロ) より $a ≦ f (a) ≦ b, a ≦ f (b) ≦ b$ であるから、特に $F (a) = f (a) - a ≧ 0$ かつ $F (b) = f (b) - b ≦ 0$ である。

関数 $f$ は連続なので $F$ も連続である。したがって中間値の定理により、 $F (c_{0}) = 0$ となる $c_{0} \in [a, b]$ が存在する。これは $f (c_{0}) = c_{0}$ を意味する。

次に一意性を示す。 $c, d \in [a, b]$ がともに $f (c) = c, f (d) = d$ を満たすとする。平均値の定理と条件 (ハ) より $∣ c - d ∣ = ∣ f (c) - f (d) ∣ ≦ k ∣ c - d ∣$ である。ここで $0 ≦ k < 1$ だから、もし $∣ c - d ∣ > 0$ なら両辺を $∣ c - d ∣$ で割って $1 ≦ k$ となり矛盾する。よって $c = d$ である。したがって $f (c_{0}) = c_{0}$ を満たす値は区間 $[a, b]$ にただ1つ存在する。

(2)

まず $d_{0} \in [a, b]$ であり、条件 (ロ) によって $f$ は区間 $[a, b]$ の値を再び $[a, b]$ に入れる。したがって $d_{1} = f (d_{0}), d_{2} = f (d_{1}), \dots$ はすべて $[a, b]$ に属する。

また $c_{0} = f (c_{0})$ であるから、平均値の定理と条件 (ハ) より $∣ d_{n + 1} - c_{0} ∣ = ∣ f (d_{n}) - f (c_{0}) ∣ ≦ k ∣ d_{n} - c_{0} ∣$ が成り立つ。

これを順に用いると $∣ d_{1} - c_{0} ∣ ≦ k ∣ d_{0} - c_{0} ∣,$ $∣ d_{2} - c_{0} ∣ ≦ k ∣ d_{1} - c_{0} ∣ ≦ k^{2} ∣ d_{0} - c_{0} ∣$ となる。同様に繰り返せば、すべての $n = 1, 2, \dots$ について $∣ d_{n} - c_{0} ∣ ≦ k^{n} ∣ d_{0} - c_{0} ∣$ を得る。

京都大学 1984年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1984年度
理系数学第6問