問題
空間に三角形があるとし，空間の原点は，この三角形が決定する平面上にはないとする．
(1) 実数，，が，等式を満たすならば，であることを示せ．
(2) 辺，，の長さを，それぞれ，，とし，三角形の内接円の中心をとすると，等式が成立するという．，，を，，を用いて表せ．
出典：京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
(1) は、係数和 が でない場合には が平面 上にあることになり、係数和が の場合には と の平行でないことに帰着する。(2) は、内心から三辺への距離が等しいので、三角形 の面積比が になることを使い、面積比による係数表示で を決める。
解答
(1)
とする。
まず と仮定する。このとき
であり、右辺の係数の和は である。これは、原点 が三角形 の決める平面上にあることを意味する。しかしこれは仮定に反する。よって でなければならない。
そこで とすると、
すなわち
である。これは を意味する。
三角形 が作られているので、 と は平行ではない。したがって であり、さらに である。よって が示された。
(2)
内接円の半径を とする。内心 から三辺 への距離はいずれも であるから、三角形 の面積はそれぞれ である。したがって面積比は である。
三角形の内部の点 について、面積比による係数表示を用いると
である。ここで だから、上の面積比 より
となる。
よって
である。