問題
つぼの中に個の赤球と，個の白球が入っている．との2人が，交互に球を1個ずつとり出し，先に赤球をとり出した者を勝者とするゲームをする．ただし，とり出した球は，もとにもどさないものとする．
(1) ちょうど回目(すなわち，2人のとり出した球の合計が，ちょうど個になった時)に勝者がきまる確率をとするとき， となることを示せ．
(2) このゲームをからはじめるとする．任意の，に対して，が勝者となる確率は，またはそれ以上であることを示せ．また，が勝者となる確率がとなるための，との条件を求めよ．
方針
(1) は、最初の赤球が 回目に出る確率を隣接比で比較する。(2) は、 の勝ちは奇数回目、 の勝ちは偶数回目に最初の赤球が出る場合なので、 を比較して の勝率を下から押さえる。等号条件は、すべての組で となり、最後に余る奇数番目の正の項がない場合を調べる。
解答
(1)
回目に勝者が決まるのは、最初の 回がすべて白球で、 回目に赤球が出る場合である。したがって となるのは の範囲であり、それ以降は である。 の範囲で隣り合う比を取ると である。実際、 回目に決まるには、 回目まで白球が続き、その後に赤球が出ればよいので、 と比べて上の比だけが追加で現れる。
ここで より である。したがって であり、 が成り立つ。 となる範囲では両辺とも なので、同じ不等式が成り立つ。
(2)
は1回目、3回目、5回目、 に赤球が初めて出たときに勝つ。したがって の勝つ確率は である。一方、 の勝つ確率は である。
(1)より なので である。赤球は少なくとも1個あるから、いずれ必ずどちらかが勝ち、両辺の和は である。よって の勝つ確率は 以上である。
次に、等号条件を調べる。等号が成り立つためには、上で組にしたすべてについて が成り立ち、さらに最後に余る奇数番目の正の項があってはならない。
比の式より、 の範囲で となるのは すなわち の場合に限られる。したがって、すべての組で等号になるには が必要であり、また なら確かにすべての隣接比は になる。
最後に余りを考える。勝者が決まる可能性がある回数は である。奇数番目の項が余らないためには、最後の番号 が偶数でなければならない。これは であることと同値である。
以上より、 の勝つ確率が となるための条件は である。