問題
定数 に対して，等式がすべてのについて成り立つとき，関数は周期関数であるといい，またこの等式を満たすような正の数のうちの最小値をの周期という．
次の関数は周期関数であるか否かを，理由をつけて答えよ．また，周期関数である場合には，その周期を求めよ．
(1)
(2)
(3)
出典：京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
(1)(2) は、周期候補を三角関数の対称性から見つけたうえで、任意の正の周期 を の代入で絞り、最小性を確認する。(3) は周期関数であれば導関数も同じ周期をもち、連続な周期関数は有界であることを用いる。ところが は適切な点列でいくらでも大きくなるので矛盾する。
解答
(1)
であるから であり、 は周期である。
正の数 が周期であるとする。 を代入すると である。ここで であり、この範囲で となるのは だけである。したがって となり、 と表せる。
もし が奇数なら、 であるが、 なので周期ではない。よって最小周期は である。
(2)
であり、 は偶関数であるから である。したがって は周期である。
正の数 が周期であるとする。 を代入すると である。 の範囲で となるのは だけなので、 である。したがって と表される。すでに が周期であることを示しているので、正の最小周期は である。
(3)
が周期関数であると仮定し、その正の周期を とする。すべての について が成り立つので、両辺を微分して を得る。つまり も周期 をもつ。
また である。周期 をもつ連続関数は、区間 での最大値と最小値の間の値しか取らないので、全体で有界である。
ところが とおくと、 であるから となり、これは を大きくするといくらでも大きくなる。これは が有界であることに反する。
したがって である。