問題
実数の値によって定まる点とがある．
(1) がすべての実数を動くとき，直線が通過する範囲を図示せよ．
(2) が区間を動くとき，線分が通過する範囲の面積を求めよ．
出典：京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
直線 は と表せる。(1) は、点 を通るような実数 が存在する条件、すなわち の判別式から領域を決める。(2) は線分条件 を加え、固定した ごとに の範囲を整理して上下端を積分する。
解答
(1)
点 と を通る直線の傾きは である。またこの直線は中点 を通るので と表せる。
点 を通る直線 が存在するには、ある実数 に対して となればよい。これは という についての二次方程式が実数解をもつことと同値である。したがって判別式より すなわち である。
よって、直線 が通過する範囲は、放物線 およびその下側全体である。
(2)
線分 上にあるためには、直線上にあることに加えて、点 が中点 から両端までの範囲に入っている必要がある。したがって である。
固定した に対して、許される は を同時に満たす。よって の範囲は である。 では であり、 はこの範囲で減少する。したがって上端は 、下端は である。 では である。上端は のとき であり、下端は のとき である。 では である。上端は同じく であり、下端は両端 で同じ値 を取る。
したがって面積は
である。計算すると となる。