京都大学 1981年度理系数学第5問解答・解説

問題

A君がおみくじを引く． $N$ 回引いても「大吉」が出なければ打ち切ってやめる．もし $N$ 回までに大吉が出ればその回でやめることにした．ただし， $N$ は2以上の定まった自然数とする．
A君が1回ごとに大吉を引く確率を $p$ とする．このときA君がおみくじを引くのをやめるまでの回数の期待値(平均ともいう) $E$ は $E = \frac{1 - ( 1 - p ) ^{N}}{p}$ と表わされることを示し， $p = \frac{1}{5}$ ， $N = 10$ のときの $E$ の値を小数第2位まで求めよ．

出典：京都大学 1981年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

やめるまでの回数を直接分布で足してもよいが、より短くするには「 $j$ 回目を実際に引く確率」を足す。 $(j)$ 回目を引く条件は、最初の $j - 1$ 回で大吉が出ていないことなので、期待値は等比数列の和になる。数値計算では最後に小数第2位まで丸める。

解答

やめるまでに引く回数を $T$ とする。 $j$ 回目のおみくじを実際に引くためには、最初の $j - 1$ 回で大吉が出ていないことが必要十分である。したがって $Pr (T ≧ j) = (1 - p)^{j - 1} (1 ≦ j ≦ N)$ である。

回数 $T$ は、実際に引いた各回を1ずつ数えたものだから、期待値は $E = \sum_{j = 1}^{N} Pr (T ≧ j)$ で求められる。よって

E = j = 1 \sum N (1 - p)^{j - 1} = \frac{1 - ( 1 - p ) ^{N}}{1 - ( 1 - p )} = \frac{1 - ( 1 - p ) ^{N}}{p}

である。 $p = \frac{1}{5}$ , $N = 10$ のとき

E = \frac{1 - ( 4/5 ) ^{10}}{1/5} = 5 {1 - (\frac{4}{5})^{10}}

である。数値を計算すると $(\frac{4}{5})^{10} = 0.1073741824$ であるから $E = 5 (1 - 0.1073741824) = 4.463129088$ となる。したがって小数第2位までで $E = 4.46$ である。

別解。

停止する回を直接使うと、 $1 ≦ j ≦ N - 1$ では $Pr (T = j) = (1 - p)^{j - 1} p$ であり、 $N$ 回目でやめる確率は「 $N$ 回目に大吉が出る」場合と「最後まで出ない」場合を合わせて $(1 - p)^{N - 1} p + (1 - p)^{N} = (1 - p)^{N - 1}$ である。したがって $E = \sum_{j = 1}^{N - 1} j (1 - p)^{j - 1} p + N (1 - p)^{N - 1}$ となる。この和を等比数列の和の公式で整理しても、同じく $E = \frac{1 - ( 1 - p ) ^{N}}{p}$ を得る。

京都大学 1981年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

別解。

京都大学 1981年度
理系数学第5問