問題
空間の，同一平面上にない4点，，，を考える．線分，，，の上にそれぞれ点，，，があってが平行四辺形をなすものとする．このとき次の問いに答えよ．
(1) ，，，とすれば，であることを示せ．ただし，はベクトルの大きさを表わす．
(2) 平行四辺形の対角線の交点は，線分，のそれぞれの中点を結ぶ線分上にあることを示せ．
出典：京都大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
を基準にして , , と置く。4点が同一平面上にないため は一次独立である。平行四辺形条件を対角線の中点一致、すなわち に直し、係数比較で4つの比をそろえる。
解答
(1)
位置ベクトルを
とする。4点 は同一平面上にないので、 は一次独立である。
点がそれぞれの線分上にあることと、与えられた比から と表せる。ここで はいずれも 以上 以下である。 が平行四辺形であるから、対角線 と の中点は一致する。したがって
である。代入すると となる。 は一次独立なので係数を比較でき、 を得る。第2式は を意味するから である。
(2)
共通の値を とする。 である。平行四辺形の対角線の交点を とすると、対角線の中点であるから
である。線分 の中点を 、線分 の中点を とすると
である。よって
となる。 だから、 は と を結ぶ線分上にある。すなわち、平行四辺形 の対角線の交点は、線分 , のそれぞれの中点を結ぶ線分上にある。
別解。
平行四辺形条件を辺の平行・等長の向きで と書いてもよい。このとき であり、 である。一次独立性により係数比較を行うと となり、やはり を得る。