京都大学 1981年度
理系数学 第3問

解答

$x>1$ のときは $x^{m+1}-1>0$ である。したがって、仮定の不等式から $k\geqq \frac{x^m-1}{x^{m+1}-1}$ を得る。一方、$0<x<1$ のときは $x^{m+1}-1<0$ である。負の数で割るので不等号の向きが変わり、$k\leqq \frac{x^m-1}{x^{m+1}-1}$ となる。

ここで $x\ne 1$ のとき $x^m-1=(x-1)(1+x+\cdots +x^{m-1}),$ $x^{m+1}-1=(x-1)(1+x+\cdots +x^m)$ であるから、$\frac{x^m-1}{x^{m+1}-1}=\frac{1+x+\cdots +x^{m-1}}{1+x+\cdots +x^m}$ である。この右辺は $x=1$ の近くでも分母が $0$ にならず、$x$ を $1$ に近づけると $\frac{1+1+\cdots +1}{1+1+\cdots +1}=\frac{m}{m+1}$ に近づく。

したがって、$x>1$ から $1$ に近づけると $k\geqq \frac{m}{m+1}$ であり、$0<x<1$ から $1$ に近づけると $k\leqq \frac{m}{m+1}$ である。両方を合わせて $k=\frac{m}{m+1}$ が従う。

別解。

$x>1$ では $k\geqq R(x),R(x)=\frac{x^m-1}{x^{m+1}-1}$ であり、$0<x<1$ では $k\leqq R(x)$ である。つまり $k$ は、$1$ の右側の $R(x)$ 以上であり、同時に $1$ の左側の $R(x)$ 以下でなければならない。$R(x)$ は上で求めた等比和の比として $x=1$ まで自然に値を補えるので、その境目の値 $R(1)=m/(m+1)$ 以外は取り得ない、と見ることもできる。