京都大学 1981年度
理系数学 第1問

解答

点 $(4,5)$ を通る傾き $m$ の直線は $y-5=m(x-4)$ である。放物線 $y=\frac{1}{4}{x}^2$ との交点の $x$ 座標は $\frac{1}{4}{x}^2=m(x-4)+5$ すなわち $x^2-4mx+16m-20=0$ の2根である。2根を $\alpha ,\beta$ とすると、判別式から $|\alpha -\beta |=\sqrt{16m^2-4(16m-20)}=4\sqrt{(m-2{)}^2+1}$ である。この判別式は常に正なので、どの $m$ についても交点は2点である。

直線上で $x$ 座標が $\alpha$ から $\beta$ まで変わると、$y$ 座標の変化は $m(\beta -\alpha )$ である。したがって $PQ=|\alpha -\beta |\sqrt{1+m^2}=4\sqrt{(1+m^2)\{(m-2{)}^2+1\}}$ となる。よって $F(m)=(1+m^2)\{(m-2{)}^2+1\}$ の最小値を求めればよい。

微分すると $F^{\prime }(m)=4(m-1{)}^3$ である。したがって $m<1$ で $F^{\prime }(m)<0$、$m>1$ で $F^{\prime }(m)>0$ となり、$F(m)$ は $m=1$ で最小になる。このとき $F(1)=4$ だから $P{Q}_{\min }=4\sqrt{4}=8$ である。したがって、求める直線の傾きは $1$ であり、そのときの線分 $PQ$ の長さは $8$ である。

別解。

$t=m-1$ とおくと $1+m^2=t^2+2t+2,(m-2{)}^2+1=t^2-2t+2$ である。したがって $F(m)=(t^2+2t+2)(t^2-2t+2)=(t^2+2{)}^2-(2t{)}^2=t^4+4$ となる。よって $F(m)\geqq 4$ で、等号は $t=0$、すなわち $m=1$ のときに限る。この方法なら微分を使わずに同じ最小値 $PQ=8$ を得る。