熊本大学 2026年度理系数学第4問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。ただし，自然対数の底 $e$ が $2.7 < e < 2.8$ を満たすことを用いてよい。

(問1) 関数 $y = \frac{l o g x}{x}$ の極値を求めよ。

(問2) $n$ を $3$ 以上の自然数とする。次の条件

a^{nb} > b^{na} > n^{ab} かつ a < b < n

を満たす自然数の組 $(a, b)$ の個数 $s_{n}$ を求めよ。ただし，自然数の組 $(a, b)$ が存在しないとき， $s_{n} = 0$ とする。

(問3) (問2) で求めた $s_{n}$ に対して， $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{5}} \sum_{k = 5}^{n} k^{2} (s_{k} + \frac{5}{2} k - 1)$ を求めよ。

出典：熊本大学 2026年度前期理系第4問

方針

まず $h (x) = lo g x / x$ の増減を微分で調べる。条件 $a^{nb} > b^{na} > n^{ab}$ は対数を取り正の数で割ることで $h (a) > h (b) > h (n)$ に変形する。 $h$ は $x > e$ で減少するので， $3 ≦ a < b < n$ はすべて数え， $a = 2$ の場合だけ $b = 3, 4$ を除外する。最後は得られた $s_{k}$ を代入し， $k^{4}$ の和の極限を区分求積で評価する。

解答

(問1)

y = \frac{lo g x}{x}

とおくと

y^{'} = \frac{1 - lo g x}{x ^{2}}

である。したがって $0 < x < e$ で $y^{'} > 0$ ， $x > e$ で $y^{'} < 0$ である。よって $x = e$ で極大となり，その極大値は

\frac{lo g e}{e} = \frac{1}{e}

である。極小値はない。

(問2)

h (x) = \frac{lo g x}{x}

とおく。(問1)より， $h (x)$ は $x > e$ で減少する。

条件

a^{nb} > b^{na} > n^{ab}

の各辺の自然対数をとり，正の数 $abn$ で割ると

\frac{lo g a}{a} > \frac{lo g b}{b} > \frac{lo g n}{n}

すなわち

h (a) > h (b) > h (n)

である。 $a = 1$ では $h (a) = 0 < h (n)$ となるから不適である。

$2.7 < e < 2.8 < 3$ であるから， $3 ≦ a < b < n$ なら $h (a) > h (b) > h (n)$ が成り立つ。したがって，この場合の個数は

\frac{( n - 3 ) ( n - 4 )}{2}

である。

次に $a = 2$ の場合を考える。 $h (3) > h (2)$ は $lo g 9 > lo g 8$ から成り立ち， $h (4) = h (2)$ であるから， $b = 3, 4$ は不適である。一方， $b ≧ 5$ なら $h (b) ≦ h (5) < h (2)$ である。実際， $h (5) < h (2)$ は $lo g 25 < lo g 32$ から従う。よって $a = 2$ で可能なのは $5 ≦ b < n$ のときであり，その個数は $n - 5$ 個である。ただし $n = 5$ のときは $0$ 個である。

以上より， $n = 3, 4$ では条件を満たす組はなく， $s_{n} = 0$ である。 $n ≧ 5$ では

s_{n} = \frac{( n - 3 ) ( n - 4 )}{2} + (n - 5) = \frac{n ^{2} - 5 n + 2}{2}

である。

(問3)

$k ≧ 5$ では (問2) より

s_{k} + \frac{5}{2} k - 1 = \frac{k ^{2} - 5 k + 2}{2} + \frac{5}{2} k - 1 = \frac{k ^{2}}{2}

である。したがって

\frac{1}{n ^{5}} k = 5 \sum n k^{2} (s_{k} + \frac{5}{2} k - 1) = \frac{1}{2 n ^{5}} k = 5 \sum n k^{4}

である。区分求積法より

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{5}} k = 1 \sum n k^{4} = \int_{0}^{1} x^{4} d x = \frac{1}{5}

であり， $k = 1$ から $4$ までを除いても極限は変わらない。よって求める極限は

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}

である。

熊本大学 2026年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2026年度
理系数学第4問